DIAGONALISASI

DIAGONALISASI ORTOGONAL

DIAGONALISASI

Diagonalisasi Matriks Suatu matriks bujursangkar A dikatakan diagonalizable Jika ada matriks P yang dapat diinvers sehingga P - AP =D adalah matriks diagonal Matriks P dikatakan mendiagonalkan ( diagonalize) A. Jika A nn maka: A dapat didiagonalkan. A mempunyai n vektor eigen yang bebas secara linier.

Prosedur Diagonalisasi Matriks Suatu matriks A nxn dengan n vektor eigen yang bebas linier dapat didiagonalkan dengan langkah sbb:. Step. Cari n vektor eigen yang bebas secara linier dari A, yaitu p, p 2,, p n. Step 2. Bentuk matriks P yang mempunyai p, p 2,, p n sebagai vektor-vektor kolomnya. Step 3. Matriks P - AP akan menjadi matriks diagonal dengan, 2,, n sebagai anggota diagonalnya dimana i adalah nilai eigen yang berpadanan dengan p, i untuk i =, 2,, n.

Contoh Diagonalisasi Matriks 

Cari matriks P yang mendiagonalkan : 2 A 2 3 Mencari nilai eigen det (I A) = = ( )( 2) 2 = = and = 2 Mencari vektor eigen (I A)x = 2 x 2 x (3) 2 3 x 3

 Contoh Diagonalisasi Matriks 

Menentukan ruang solusi dan basis untuk = x x 2 x 3 x = -s, x 2 = t, x 3 = s Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan = 2 adalah vektor tak nol berbentuk: x s s t t s t s s Cek : apakah bebas linier. Jika iya, maka vektor-vektor tersebut membentuk suatu basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan = 2

Contoh Diagonalisasi Matriks

Dengan cara yang sama, ditentukan ruang solusi dan basis untuk = Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan = 2 adalah vektor tak nol berbentuk: basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan = 2

Contoh Diagonalisasi Matriks

 p p 2 2 p 3 Sehingga didapat basis untuk ruang eigen adalah sebagai berikut: = 2: = : 2 P Cek apakah matriks A dapat didiagonalkan dan mendiagonalkan A: D AP P

Contoh Diagonalisasi Matriks 

Cari matriks P yang mendiagonalkan A Polinominal karakteristik dari A dicari dengan : det (I A) = Persamaan karakteristik: Nilai eigen dan basis ruang eigen adalah: det( I A) 2 ( )( 2) Karena A matriks 3X3 dan P hanya terdiri dari 2 vektor basis, maka A tidak dapat didiagonalkan.

Teorema Diagonalisasi Matriks

Jika v, v 2,, v k, adalah vektor-vektor eigen dari A yang berpadanan dengan nilai eigen yang berbeda-beda, 2,, k, maka {v, v 2,, v k } adalah suatu himpunan yang bebas secara linier. Jika suatu matriks Ann mempunyai nilai-nilai eigen yang berbeda-beda, maka A dapat didiagonalkan.

Diagonalisasi Matriks

Contoh : Cari matriks P yang mendiagonalkan A Polinomial karakteristik A didapat melalui: 3 2 det( I A) det = (-4)(2-4 +) = Matriks A 3x3 mempunyai nilainilai eigen yang berbeda-beda, maka A dapat didiagonalkan. P AP

Diagonalisasi Matriks Segitiga

Ingat : Jika A adalah matriks segitiga nn triangular matrix ( segitiga atas, segitiga bawah atau diagonal) maka nilai eigen dari A adalah anggota diagonal A. Matriks A berikut adalah sebuah matriks yang bisa didiagonalkan A 5 8 2

DIAGONALISASI ORTOGONAL

Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks) 

Diketahui suatu matriks A, nxn, dan suatu matriks ortogonal P sedemikian sehingga : P - AP = P T AP=D maka A disebut dapat didiagonalkan secara ortogonal dan P disebut mendiagonalkan A secara ortogonal.

Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks) 

Setiap matriks simetris dapat didiagonalkan secara ortogonal. Jika A adalah matriks nn maka pernyataan berikut ekuivalen: A dapat didiagonalkan secara ortogonal. A mempunyai suatu himpunan n vektor eigen yang ortonormal. A simetris. A T = (PDP T ) T =PD T P T = PDP T = A Jika A adalah suatu matriks simetris, maka: Nilai eigen dari A semuanya bilangan real. Vektor-vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda ortogonal.

Diagonalisasi Matriks Simetris Prosedur mendiagonalkan secara ortogonal suatu matriks simetris: Step. Cari basis untuk setiap ruang eigen dari A. Step 2. Terapkan proses Gramm Schmidt pada setiap basis-basis ini untuk mendapatkan suatu basis ortonormal untuk setiap ruang eigen. Step 3. Bentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor basis yang disusun pada step-2, matriks ini mendiagonalkan A secara ortogonal

Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks) Cari suatu matriks ortogonal P yang mendiagonalkan A Solusi: Persamaan karakteristik A adalah: det( I A) det ( 2) ( 8) Basis ruang eigien yang bersepadanan dengan = 2 adalah u and u 2 :

Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks) Terapkan proses Gram Schmidt pada {u, u 2 untuk menghasilkan vektor eigen yang ortonormal berikut: v / 2 / 6 / 2 and v / 6 2 / 6 2 Ruang eigen yang bersepadanan dengan = 8 adalah u3 Terapkan proses Gram Schmidt pada {u 3 } didapat: v3 sehingga P v v2 v3 / / 2 2 / / 2 / / / / / 3 / 3 / 3 P mendiagonalkan A secara ortogonal. Cek bahwa P T AP=D

Dalam aljabar linier , diagonalisasi ortogonal dari matriks simetris adalah diagonalisasi dengan cara perubahan koordinat ortogonal . ^[1]

Berikut ini adalah algoritma diagonalisasi ortogonal yang mendiagonalisasi bentuk kuadrat q ( x ) pada R ⁿ melalui perubahan koordinat ortogonal X = PY . ^[2]

• Langkah 1: cari matriks simetris A yang mewakili q dan temukan polinomial karakteristiknya $$ {\ displaystyle \ Delta (t).}
• Langkah 2: cari nilai eigen A yang merupakan akar $$ {\ displaystyle \ Delta (t)} .
• Langkah 3: untuk setiap nilai eigen $$ {\ displaystyle \ lambda} A pada langkah 2, temukan basis ortogonal dari eigenspace -nya.
• Langkah 4: menormalkan semua vektor eigen pada langkah 3 yang kemudian membentuk basis ortonormal dari R ⁿ .
• Langkah 5: misalkan P menjadi matriks yang kolomnya adalah vektor eigen yang dinormalisasi pada langkah 4.

X = PY adalah perubahan koordinat ortogonal yang diperlukan, dan entri diagonal dari $$ {\ displaystyle P ^ {T} AP} akan menjadi nilai eigen $$ {\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {n}} yang sesuai dengan kolom P.

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Perhitungan Nilai dan Vektor Eigen

Perhitungan nilai dan vektor Eigen tetap mengguankan perhitungan matriks dasar, yaitu penjumlahan matriks dan perkalian matriks.^[1][2] Perhitungan dimulai dengan mencari nilai Eigen, kemudian dengan nilai Eigen diperoleh (dapat berjumlah lebih dari 1 nilai) akan dihitung vektor Eigen untuk masing - masing nilai yang memenuhi persamaan.^[1][2][3]

Contoh[sunting | sunting sumber]

Misalkan diketahui suatu matriks A berukuran 3 x 3 dengan nilai seperti di bawah ini.^[2]

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\\\end{pmatrix}}}$

Untuk mencari nilai Eigen akan digunakan polinomial karakteristik dan persamaan karakteristik dari matriks A.^[1][2] Pertama - tama akan dihitung polinomial karakteristik dari matriks A:

${\displaystyle f(\lambda )=det(A-\lambda I)}$

${\displaystyle f(\lambda )=det\left({\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\\\end{pmatrix}}-\lambda \cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\right)=det{\begin{pmatrix}-\lambda &1&0\\0&-\lambda &1\\4&-17&8-\lambda \\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle f(\lambda )=-\lambda \cdot {\begin{bmatrix}-\lambda &1\\-17&8-\lambda \\\end{bmatrix}}-1\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\4&8-\lambda \\\end{bmatrix}}+0\cdot {\begin{bmatrix}0&-\lambda \\4&-17\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle f(\lambda )=-\lambda (-\lambda (8-\lambda )-1(-17))-(0(8-\lambda )-4(1))=-\lambda (-8\lambda +\lambda ^{2}+17)-(-4)=8\lambda ^{2}-\lambda ^{3}-17\lambda +4}$

Kemudian nilai Eigen dapat dihitung lewat persamaan karakteristik:

${\displaystyle f(\lambda )=0}$

${\displaystyle -\lambda ^{3}+8\lambda ^{2}-17\lambda +4=0}$

${\displaystyle \lambda ^{3}-8\lambda ^{2}+17\lambda -4=0}$

(Persamaan karakteristik dapat difaktorkan menggunakan teorema sisa atau teknik pemfaktoran polinomial lainnya)

${\displaystyle (\lambda -4)(\lambda ^{2}-4\lambda +1)=0}$

${\displaystyle \lambda _{1}=4,\lambda _{2}=2+{\sqrt {3}},\lambda _{3}=2-{\sqrt {3}}}$

Dengan melakukan substitusi nilai Eigen ke dalam persamaan ${\displaystyle (A-\lambda I)x=0}$, maka akan diperoleh suatu persamaan baru.^[2]

${\displaystyle (A-\lambda _{1}I)x=0}$

${\displaystyle \left({\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\\\end{pmatrix}}-4{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-4&1&0\\0&-4&1\\4&-17&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\end{pmatrix}}}$

Vektor Eigen untuk masing - masing nilai Eigen kemudian dapat ditentukan dengan melakukan operasi baris elementer atau teknik eliminasi sistem persamaan linear lainnya.^[2] Sehingga akan diperoleh vektor Eigen untuk ${\displaystyle \lambda =4}$ adalah

${\displaystyle {\vec {v}}_{1}={\begin{pmatrix}0,0625\\0,25\\1\\\end{pmatrix}}}$

SISTEM PERSAMAAN LINIER METODE GAUSS JORDAN

SISTEM PERSAMAAN LINIER METODE GAUSS JORDAN

Eliminasi Gauss Jordan

---

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana lagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.

Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.

Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah

1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.

2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks

   A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi

Cari Nilai X1,X2,X3 pada persamaan dibawah ini menggunakan eliminasi gauss jordan

2X1 + X2 + 4X3 = 8

3X1 + 2X2 + X3 = 10

X1 + 3X2 + 3X3 = 8

Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss Jordan : 

---

Sebenarnya hanya tinggal melanjutkan dari langkah eliminasi gauss seperti di tambahkan langkah 8 sampai langkah 10, tapi saya mengulanginya kembali dari awal.

Jadi Isinya sama seperti pada Eliminasi Gauss X1 = 2.23, X2 = 1.384, X3 = 0.538

SISTEM PERSAMAAN LINIER METODE GAUSS

SISTEM PERSAMAAN LINIER METODE GAUSS

Eliminasi Gauss 
adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Ciri ciri Metode Gauss adalah 

1. Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)
2. Baris nol terletak paling bawah 
3. 1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya
4. Dibawah 1 utama harus nol

Cari Nilai X1,X2,X3 pada persamaan dibawah ini menggunakan eliminasi gauss 

2X1 + X2 + 4X3 = 8

3X1 + 2X2 + X3 = 10

X1 + 3X2 + 3X3 = 8

Berikut adalah penyelesaiannya :

Eliminasi Gauss

---

Langkah terakhir adalah substitusikan balik dari bawah jadi 

X3 = 0.538

X2 - 0.25(X3) = 1.25

X2 = 1.25 + 0.25(0.538)

X2 = 1.384

X1 - 2X2 + X3 = 0

X1 = 2X2 - X3

X1 = 2(1.384) - 0.538 

X1 = 2.23

Jadi X1 = 2.23, X2 = 1.384, X3 = 0.538