DIAGONALISASI

DIAGONALISASI ORTOGONAL

DIAGONALISASI

Diagonalisasi Matriks Suatu matriks bujursangkar A dikatakan diagonalizable Jika ada matriks P yang dapat diinvers sehingga P - AP =D adalah matriks diagonal Matriks P dikatakan mendiagonalkan ( diagonalize) A. Jika A nn maka: A dapat didiagonalkan. A mempunyai n vektor eigen yang bebas secara linier.

Prosedur Diagonalisasi Matriks Suatu matriks A nxn dengan n vektor eigen yang bebas linier dapat didiagonalkan dengan langkah sbb:. Step. Cari n vektor eigen yang bebas secara linier dari A, yaitu p, p 2,, p n. Step 2. Bentuk matriks P yang mempunyai p, p 2,, p n sebagai vektor-vektor kolomnya. Step 3. Matriks P - AP akan menjadi matriks diagonal dengan, 2,, n sebagai anggota diagonalnya dimana i adalah nilai eigen yang berpadanan dengan p, i untuk i =, 2,, n.

Contoh Diagonalisasi Matriks 

Cari matriks P yang mendiagonalkan : 2 A 2 3 Mencari nilai eigen det (I A) = = ( )( 2) 2 = = and = 2 Mencari vektor eigen (I A)x = 2 x 2 x (3) 2 3 x 3

 Contoh Diagonalisasi Matriks 

Menentukan ruang solusi dan basis untuk = x x 2 x 3 x = -s, x 2 = t, x 3 = s Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan = 2 adalah vektor tak nol berbentuk: x s s t t s t s s Cek : apakah bebas linier. Jika iya, maka vektor-vektor tersebut membentuk suatu basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan = 2

Contoh Diagonalisasi Matriks

Dengan cara yang sama, ditentukan ruang solusi dan basis untuk = Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan = 2 adalah vektor tak nol berbentuk: basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan = 2

Contoh Diagonalisasi Matriks

 p p 2 2 p 3 Sehingga didapat basis untuk ruang eigen adalah sebagai berikut: = 2: = : 2 P Cek apakah matriks A dapat didiagonalkan dan mendiagonalkan A: D AP P

Contoh Diagonalisasi Matriks 

Cari matriks P yang mendiagonalkan A Polinominal karakteristik dari A dicari dengan : det (I A) = Persamaan karakteristik: Nilai eigen dan basis ruang eigen adalah: det( I A) 2 ( )( 2) Karena A matriks 3X3 dan P hanya terdiri dari 2 vektor basis, maka A tidak dapat didiagonalkan.

Teorema Diagonalisasi Matriks

Jika v, v 2,, v k, adalah vektor-vektor eigen dari A yang berpadanan dengan nilai eigen yang berbeda-beda, 2,, k, maka {v, v 2,, v k } adalah suatu himpunan yang bebas secara linier. Jika suatu matriks Ann mempunyai nilai-nilai eigen yang berbeda-beda, maka A dapat didiagonalkan.

Diagonalisasi Matriks

Contoh : Cari matriks P yang mendiagonalkan A Polinomial karakteristik A didapat melalui: 3 2 det( I A) det = (-4)(2-4 +) = Matriks A 3x3 mempunyai nilainilai eigen yang berbeda-beda, maka A dapat didiagonalkan. P AP

Diagonalisasi Matriks Segitiga

Ingat : Jika A adalah matriks segitiga nn triangular matrix ( segitiga atas, segitiga bawah atau diagonal) maka nilai eigen dari A adalah anggota diagonal A. Matriks A berikut adalah sebuah matriks yang bisa didiagonalkan A 5 8 2

DIAGONALISASI ORTOGONAL

Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks) 

Diketahui suatu matriks A, nxn, dan suatu matriks ortogonal P sedemikian sehingga : P - AP = P T AP=D maka A disebut dapat didiagonalkan secara ortogonal dan P disebut mendiagonalkan A secara ortogonal.

Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks) 

Setiap matriks simetris dapat didiagonalkan secara ortogonal. Jika A adalah matriks nn maka pernyataan berikut ekuivalen: A dapat didiagonalkan secara ortogonal. A mempunyai suatu himpunan n vektor eigen yang ortonormal. A simetris. A T = (PDP T ) T =PD T P T = PDP T = A Jika A adalah suatu matriks simetris, maka: Nilai eigen dari A semuanya bilangan real. Vektor-vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda ortogonal.

Diagonalisasi Matriks Simetris Prosedur mendiagonalkan secara ortogonal suatu matriks simetris: Step. Cari basis untuk setiap ruang eigen dari A. Step 2. Terapkan proses Gramm Schmidt pada setiap basis-basis ini untuk mendapatkan suatu basis ortonormal untuk setiap ruang eigen. Step 3. Bentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor basis yang disusun pada step-2, matriks ini mendiagonalkan A secara ortogonal

Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks) Cari suatu matriks ortogonal P yang mendiagonalkan A Solusi: Persamaan karakteristik A adalah: det( I A) det ( 2) ( 8) Basis ruang eigien yang bersepadanan dengan = 2 adalah u and u 2 :

Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks) Terapkan proses Gram Schmidt pada {u, u 2 untuk menghasilkan vektor eigen yang ortonormal berikut: v / 2 / 6 / 2 and v / 6 2 / 6 2 Ruang eigen yang bersepadanan dengan = 8 adalah u3 Terapkan proses Gram Schmidt pada {u 3 } didapat: v3 sehingga P v v2 v3 / / 2 2 / / 2 / / / / / 3 / 3 / 3 P mendiagonalkan A secara ortogonal. Cek bahwa P T AP=D

Dalam aljabar linier , diagonalisasi ortogonal dari matriks simetris adalah diagonalisasi dengan cara perubahan koordinat ortogonal . ^[1]

Berikut ini adalah algoritma diagonalisasi ortogonal yang mendiagonalisasi bentuk kuadrat q ( x ) pada R ⁿ melalui perubahan koordinat ortogonal X = PY . ^[2]

• Langkah 1: cari matriks simetris A yang mewakili q dan temukan polinomial karakteristiknya $$ {\ displaystyle \ Delta (t).}
• Langkah 2: cari nilai eigen A yang merupakan akar $$ {\ displaystyle \ Delta (t)} .
• Langkah 3: untuk setiap nilai eigen $$ {\ displaystyle \ lambda} A pada langkah 2, temukan basis ortogonal dari eigenspace -nya.
• Langkah 4: menormalkan semua vektor eigen pada langkah 3 yang kemudian membentuk basis ortonormal dari R ⁿ .
• Langkah 5: misalkan P menjadi matriks yang kolomnya adalah vektor eigen yang dinormalisasi pada langkah 4.

X = PY adalah perubahan koordinat ortogonal yang diperlukan, dan entri diagonal dari $$ {\ displaystyle P ^ {T} AP} akan menjadi nilai eigen $$ {\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {n}} yang sesuai dengan kolom P.