BASIS DAN DIMENSI

BASIS dan DIMENSI

Basis

Andaikan V adalah sembarang ruang vektor dan S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan berhingga vektor-vektor pada V, S dikatakan basis untuk ruang V jika :

§ S bebas linier

§ S membangun V

Dimensi

Sebuah ruang vektor dikatakan berdimensi berhingga, jika ruang vektor  V mengandung sebuah himpunan berhingga vektor S = {u1, u2,…,un} yang membentuk basis. Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis V.

Ruang Hasil Kali Dalam

Sebuah hasil kali dalam (inner product) pada ruang vektor riil V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil [u,v] dengan masing-masing pasangan vektor u dan v pada V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma berikut ini :

§ [u,v] = [v,u]    (aksioma simetri)

§ [u+v,w] = [u,w] + [v,w]    (aksioma penambahan)

§ [ku,v] = k[u,v]    (aksioma kehomogenan)

§ [u,u] ≥ 0 dan [u,u] = 0 Û u=0   (aksioma kepositifan)

Contoh :

Jika u = [u1,u2,…,un], dan v = [v1,v2,…,vn] adalah vektor-vektor pada Rn, maka :

                  [u,v] = u•v = u1v1 + u2v2 + … + unvn

adalah hasil kali dalam pada ruang Euclides Rn. Dan u dan v dikatakan ortogonal jika [u,v] = 0. Jika u ortogonal terhadap setiap vektor pada V, maka u dikatakan ortogonal terhadap V.

Basis Ortonormal

Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dikatakan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektor yang berada dalam himpunan tersebut ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal yang setiap vektornya panjangnya 1 disebut ortonormal.

Contoh :

S={u1,u2,u3} dengan u1=[1,2,1], u2=[1,-1,1], dan u3=[1,0,-1]. Himpunan S adalah ortogonal pada R3, karena [u1,u2]=[u1,u3]=[u2,u3]=0

Catatan:

§Jika S = {u1, u2,…,un} adalah adalah basis ortonormal untuk sebuah ruang hasil kali dalam V, dan jika x sembarang vektor di V, maka :

                x = [x,u1]u1  + [x,u2]u2 +  … + [x,un]un  

§Misalkan V ruang hasil kali dalam dan {u1,u2,…,un} himpunan ortonormal Jika W ruang yang dibangun oleh u1,u2,…,un maka setiap vektor x dalam V dapat dinyatakan dengan : x = v + w dimana :

            v = [v,u1]u1  + [v,u2]u2 +  … + [v,un]un   

istilah ortogonal sebenarnya mempertegas bahwa proyeksi yang dilakukan haruslah membentuk hubungan tegak lurus antara ujung vektor yang diproyeksikan dengan ujung vektor hasil proyeksi.

Perubahan Basis

Misalkan S={u1,u2,…,un} basis lama ruang vektor V, dan B={v1,v2,…,vn} basis baru untuk ruang vektor V. Misalkan pula [x]S matrik koordinat x relatif terhadap S dan [x]B matrik koordinat x relatif terhadap basis B.