ALJABAR LINIER: RUANG VEKTOR, KOMBINASI LINIER, DAN KEBEBASAN LINIER

RUANG VEKTOR, KOMBINASI LINIER, DAN KEBEBASAN LINIER

RUANG –N EUCLIDES

Ruang-n Euclides

Jika n sebuah bilangan bulat positif, maka n-pasangan bilangan berurut adalah sebuah urutan n bilangan real (x1,x2,…,xn). Himpunan semua n-pasangan bilangan berurut dinamakan ruang-n Eucides dan dinyatakan dengan Rn.

Definisi. Misalkan u=[u1,u2,…,un]; v=[v1,v 2,…,vn] vektor di Rn.

§ u = v jika hanya jika u1 = v1, u2 = v2,…, un = vn

§ u + v = [u1 + v1, u2 + v2,…, un + vn ]

§ ku = [ku1, ku2,…, kun]

§ u•v = u1v1 + u2v2 + … + unvn

§ |u| = (u•u)1/2

Ruang Vektor

Misalkan V sembarang himpunan. V dikatakan sebagai ruang vektor, bilamana aksioma-aksioma berikut dipenuhi :

(1) Jika u dan v vektor-vektor di V, maka u + v juga berada di V.

(2) u+v = v+u

(3) u+(v+w) = (u+v)+w

(4) Ada sebuah vektor 0 di V sehingga 0+u=u+0

(5) Untuk setiap u di V terdapat –u di V sehingga u+(-u) = -u+u =0

(6) Jika k skalar dan u di V, maka ku berada di V

(7) k(u+v) = ku + kv

(8) (k + l)u = ku + lu

(9) k(lu) = (kl)u

(10) 1u = u

Membangun Ruang Vektor

Jika u1, u2,…,un adalah vektor-vektor pda ruang vektor V, dan jika setiap vektor x pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier u1, u2,…,un, maka u1, u2,…,un dikatakan membangun ruang vektor V

1. KOMBINASI LINEAR

Definisi

Vektor V dikatakan merupakan kombinasi linier dari vektor – vektor v₁, v₂,…,v_n bila w bisa dinyatakan sebagai :

w = k₁v₁ + k₂v₂ + … + k_nv_n , dengan k₁,k₂,…,k_n adalah skalar.

TEOREMA

Himpunan semua kombinasi linear dari sembarang himpunan vektor-vektor yang tidak kosong dari V adalah suatu ruang bagian dari V

CONTOH SOAL KOMBINASI LINEAR

Diketahui a = (1, 2), b = (-2, -3), dan c = (1, 3). Apakah c merupakan kombinasi linear dari a dan b?

Jawab:

Misalkan c merupakan kombinasi linear dari a dan b maka dapat ditentukan dengan c = k₁a + k₂b

(1, 3) = k₁(1, 2) + k₂(-2, -3)

(1, 3) = (1k₁, 2k₁) + (-2k₂, -3k₂)

Maka dapat dinyatakan 1 = k₁ – 2k₂ dan 3 = 2k₁ – 3k₂Sehingga diperoleh pengenyelesaian k₁ = 3 dan k₂ = 1

Jadi c merupakan kombinasi linear dari a dan b, dan dinyatakan dengan c = 3a + b

2. MEMBANGUN (MERENTANG)

Definisi

Himpunan vektor S = {s₁, s₂, ... , s_n} dimana s₁, s₂, ... , s_nÎ V disebut membangun jika setiap v Î V, v merupakan kombinasi linear dari S ,yaitu : v = k₁s₁ + k₂s₂ +…+ k_ns_n, dengan k₁,k₂,…,k_n adalah skalar.

CONTOH SOAL MEMBANGUN

Vektor-vektor i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1) merentang R³.

Jawab :

Misal x = (x₁, x₂, x₃) Є R³ sehingga akan dibuktikan k₁i + k₂j + k₃k = x

Jadi semua vector di R³ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear i, j, k; sehingga i, j, k membangun R³.

CONTOH LAIN

● Polinom-polinom 1, x, x², ... , xⁿ membangun ruang vektor P_n, karena polinom p pada P_n dapat dituliskan sebagai p = a₀ + a₁ x + a₂ x² +...+ a_n xⁿ

● Yang merupakan kombinasi linear dari 1, x, x², ... , xⁿ

3. BEBAS DAN BERGANTUNG LINEAR

Definisi

Jika S = {v₁, v₂, v₃, ……………,v_n}adalah himpunan vector sedemikian sehingga, k₁v₁ + k₂v₂ + … + k_nv_n = 0 maka S = {v₁, v₂, v₃,..., v_n} disebut :

1. Bebas linier apabila scalar-skalar k₁, k₂,…,k_n semuanya nol.

2. Bergantung linier apabila scalar-skalar k1, k2, k3,…, kn tidak semuanya nol.

CIRI-CIRI BEBAS DAN BERGANTUNG LINEAR

● Himpunan vector S bebas linier jika system persamaan linier hanya mempunyai penyelesaian trivial (nol).

● Himpunan vector S bergantung linier jika system persamaan linier mempunyai persamaan non trivial.

● Vektor S merupakan bebas linear apabila

1. Matrik tersebut det(S) ≠ 0.

2. Ketiga vector tersebut mempunyai invers (sehingga dapat dibalik)

LATIHAN

1. Misal u = (2, 4, 0), dan v = (1, –1, 3) adalah vektor-vektor di R³. Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor di atas

a. h = (4, 2, 6)

b. j = (1, 5, 6)

c. r = (0, 0, 0)

2. Diketahui v =(3,9,-4,-2) merupakan kombinasi linier u₁= (1,-2,0,3), u₂ = (2,3,0,-1) dan u₃= (2,-1,2,1). Apakah v merupakan kombinasi linear dari u₁ , u₂ dan u₃ ?

3. Apakah polinomial-polinomial berikut ini bebas linier ? p₁ = 1 – 2x + 3 x² , p₂ = 5 + 6x – x² , p₃ = 3 + 2x + x²

JAWAB :

1). Misal u = (2, 4, 0), dan v = (1, –1, 3) adalah vektor-vektor di R³.

  Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor di atas
a.       h = (4, 2, 6)
b.       j = (1, 5, 6)
c.        r = (0, 0, 0)
Jawab:

ini juga dapat ditulis menjadi

2). Diketahui v =(3,9,-4,-2) merupakan kombinasi linier u₁= (1,-2,0,3), u₂ = (2,3,0,-1) dan u₃= (2,-1,2,1). Apakah v merupakan kombinasi linear dari u₁ , u₂dan u₃ ?

Jawab: