ALJABAR LINIER: Oktober 2019

Selasa, 15 Oktober 2019

INVERS MATRIKS

INVERS MATRIKS

Invers matriks memiliki sifat-sifat berikut:

AA-1 = A-1A = I
(A-1)-1 = A
(AB)-1 = B-1A-1
Jika AX = B, maka X = A-1B
Jika XA = B, maka X = BA-1

Rumus Invers matriks:

Keterangan :

A-1 : Invers Matriks (A)

Det (A) : Determinan Matriks (A)

Adj (A) : Adjoin Matriks (A)

Invers Matriks metode adjoint Matriks

Invers Matriks Ordo 2 x 2

Nah pertama yang akan kita bahas adalah bagaimana cara mencari invers matriks yang berordo 2 x 2.

Kita akan menghitung invers matriks dengan cara cepat.

Sebelum masuk kepada perhitungan invers matriks, kita akan cari nilai adjointnya terlebih dahulu. Oh yah cara cepat ini hanya berlaku untuk matriks yang berordo 2x2.

Silahkan disimak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal :

Tentukan Inverse dari data berikut :

Jawab :

Kita cari adjointnya dengan cara cepat.

Dengan cara cepat kita hanya tinggal memindahkan atau menukar posisi elemen yang ada pada baris pertama kolom pertama dengan baris ke-dua kolom ke-dua. Kemudian elemen baris pertama kolom ke-dua dan elemen baris kedua kolom pertama dikali dengan (-1)

Maka menjadi adjoin matriks di atas adalah :

Kemudian kita cari determinan seperti biasa yaitu

det = (1 x 4 ) - (2 x 3 )

= 4 - 6

= -2

Maka invers dari matriks di atas adalah :

Invers Matriks Ordo 3 x 3

Untuk mencari invers matriks ordo nxn seperti untuk matriks 3x3 digunakan rumus seperti berikut:

Pertama-tama kita cari dahulu nilai det(A) atau determinan A.

Ada dua metode untuk mencari nilai determinan matriks yang berordo 3x3, yakni sebagai berikut :

Metode Sarrus

Metode Minor-Kofaktor

Cara yang paling mudah atau paling sering digunakan dalam menghitung suatu determinan matriks yang berordo 3x3 adalah metode Sarrus.

Untuk mendapatkan nilai determinan A, Metode Sarrus menjelaskan seperti ini :

Contohnya seperti ini :

Kita lanjut,

Sedangkan untuk mengetahui matriks adjoint yang sering disingkat dengan Adj(A), kita harus mengetahui terlebih dahulu matriks kofaktor.

Matriks Kofaktor adalah matriks yang elemennya diganti dengan nilai determinan yang unsurnya tidak sebaris dan tidak sekolom dengan unsur asal. Kemudian dilanjutkan dengan memberikan tanda positif negatif saling bergantian.

Contoh Soal :

Invers Matriks metode operasi elementer baris

Langkah-langkah sebagai berikut :

(1). Bentuk matrik lengkap [A,I]

(2). Dengan serangkain operasi elelemter baris reduksilah [A,I] menjadi matrik berbentuk [I,B]

Rabu, 09 Oktober 2019

DEKOMPOSISI MATRIK DAN DETERMINAN

Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didekomposisi, jika terdapat matrik segitiga bawah L dan matrik segitiga atas U sedemikian rupa sehingga :

A = LU

Akibatnya : det(A) = det(L) det (U)

contoh:

DEKOMPOSISI METODE CROUT

Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Crout adalah :

Kasus n=3

Rumus

Contoh:

Hitunglah determinan matrik berikut dengan metode dekomposisi

Jawab:

Kasus n=4

Rumus

Contoh:

Hitunglah determinan matrik berikut dengan metode dekomposisi

Jawab:

Rabu, 02 Oktober 2019

DETERMINAN METODE CHIO DAN SIFAT-SIFAT DETERMINAN

DETERMINAN METODE CHIO

Rumus:

Contoh Matriks 3 x 3

Hitung determinan matriks $A = \begin{bmatrix} -2&1&4\\ 3&-5&2\\ 5&2&1 \end{bmatrix}$ .

Dengan menggunakan metode CHIO, maka didapat

$det(A) = \dfrac{1}{(-2)^{3-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} -2&1\\ 3&-5 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} -2&4\\ 3&2 \end{vmatrix}\\ &\\ \begin{vmatrix} -2&1\\ 5&2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} -2&4\\ 5&1 \end{vmatrix} \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{-2} \begin{vmatrix} (-5)(-2)-(3)(1) & (-2)(2)-(3)(4)\\ (-2)(2)-(1)(5) & (-2)(1)-(4)(5) \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{-2} \begin{vmatrix} 7&-16\\ -9&-22 \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{-2} (7 \cdot -22-(-16) \cdot -9)$

$= \dfrac{1}{-2} (-154-144)$

$= \dfrac{1}{-2} (-298)$

$= -149$

Contoh Matriks 4 x 4

Hitung determinan matriks $B = \begin{bmatrix} 2&1&6&7\\ 3&2&4&5\\ 4&4&2&3\\ 5&6&1&4 \end{bmatrix}$ .

Dengan menggunakan metode CHIO, maka didapat

$det(B) = \dfrac{1}{(2)^{4-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} 2&1\\ 3&2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&6\\ 3&4 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&7\\ 3&5 \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} 2&1\\ 4&4 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&6\\ 4&2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&7\\ 4&3 \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} 2&1\\ 5&6 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&6\\ 5&1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&7\\ 5&4 \end{vmatrix} \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{2^2} \begin{vmatrix} (2)(2)-(3)(1) & (2)(4)-(3)(6) & (2)(5)-(3)(7)\\ (2)(4)-(1)(4) & (2)(2)-(4)(6) & (2)(3)-(7)(4)\\ (2)(6)-(1)(5) & (2)(1)-(6)(5) & (2)(4)-(7)(5) \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{4} \begin{vmatrix} 1&-10&-11 \\ 4&-20&-22\\ 7&-28&-27 \end{vmatrix}$

Misal $C = \begin{vmatrix} 1&-10&-11 \\ 4&-20&-22\\ 7&-28&-27 \end{vmatrix}$ , diperoleh

$det(C) = \dfrac{1}{1^{3-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} 1&-10\\ 4&-20 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1&-11\\ 4&-22 \end{vmatrix}\\ &\\ \begin{vmatrix} 1&-10\\ 7&-28 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1&-11\\ 7&-27 \end{vmatrix} \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{1} \begin{vmatrix} (1)(-20)-(4)(-10) & (1)(-22)-(-11)(4)\\ (1)(-28)-(-10)(7) & (1)(-27)-(-11)(7) \end{vmatrix}$

$= \begin{vmatrix} 20 & 22\\ 42 & 50 \end{vmatrix}$

$= (20 \cdot 50-22 \cdot 42$

$= 1000-924$

$= 76$

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

(1). Jika A matrik bujur sangkar maka : det(A) = det(AT)

(2). Jika A dan B adalah matrik bujur sangkar yang berordo sama maka : det(AB) = det(A) det(B)

(3). Jika A matrik bujur sangkar yang memuat baris atau kolom dimana elemennya 0 atau sebanding, maka : det(A) = 0

(4). Jika A matrik segitiga atas (bawah) yang berordo (nxn) dimana elemen diagonal utama tak nol, maka : det(A) = a11a22a33 … ann

A matrik segitiga atas, maka : det(A) = (2)(3)(4)(5) = 120

(5). Jika A dan B matrik bujur sangkar yang berordo sama. Jika matrik diperoleh dari A dengan cara mengalikan sembarang baris (kolom) dengan konstanta k tak nol, maka : det(B) = k det(A)

Operasi elementarnya adalah :

Hi ß k Hi : Baris ke-i baru =

kx baris ke-i lama

Kj ß k Kj : Kolom ke-j baru

kxkolom ke-j lama

det(B) = k1 k2 det (A)

= (2) (3) 21

= 126

(6). Jika A dan B matrik bujur sangkar yang berordo sama. Jika matrik diperoleh dari A dengan cara menukarkan semua elemen sembarang baris (kolom) , maka : det(B) = – det(A)

Operasi elementarnya adalah :

Hi ß Hj : Baris ke-i baru =

baris ke-j lama

Ki ß Kj : Kolom ke-i baru =

kolom ke-j lama

ALJABAR LINIER